Question

在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，已知cos²

A

2

=

b+c

2b

，则△ABC的形状是

直角三角形

．

Answer 1

分析：已知等式左边利用二倍角的余弦函数公式化简，整理后利用余弦定理表示出cosA，代入计算得到a²+c²=b²，利用勾股定理的逆定理判定得到三角形ABC为直角三角形．

解答：解：∵cos²

A

2

=

1

2

（1+cosA）=

b+c

2b

，
∴1+cosA=

b+c

b

=1+

c

b

，即cosA=

c

b

，
又cosA=

b2+c2-a2

2bc

，
∴

b2+c2-a2

2bc

=

c

b

，
整理得：a²+c²=b²，
则△ABC为直角三角形．
故答案为：直角三角形

点评：此题考查了二倍角的余弦函数公式，余弦定理，以及勾股定理的逆定理，熟练掌握公式及定理是解本题的关键．