题目内容

设函数f（x）=lnx﹣x+1，
（Ⅰ）求f（x）的单调区间；
（Ⅱ）求证：lnx≤x﹣1；
（Ⅲ）证明：
解：（Ⅰ）由已知得，
由f'（x）＞0，得，，x＞1．
∴f（x）在（1，+∞）上为减函数，在（0，1）为增函数．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知：当x=1时，f（x）max=﹣1+1=0．
对任意x＞0，有f（x）≤0，
即lnx﹣x+1≤0． 
 即lnx≤x﹣1．
（Ⅲ）由（Ⅱ）知，，
当x≥2时，则， ∴，
∴= 又，
∴
故不等式的左边小于，
故要证的不等式成立．
练习册系列答案
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设函数f（x）=ln（x+a）+x2
（I）若当x=-1时，f（x）取得极值，求a的值，并讨论f（x）的单调性；
（II）若f（x）存在极值，求a的取值范围，并证明所有极值之和大于ln
e2
．
（Ⅰ）设函数f（x）=ln（1+x）-
2x
x+2
，证明：当x＞0时，f（x）＞0；
（Ⅱ）从编号1到100的100张卡片中每次随机抽取一张，然后放回，用这种方式连续抽取20次，设抽得的20个号码互不相同的概率为P．证明：P＜(
9
10
)19＜
1
e2
．
（2009•杨浦区一模）设函数f（x）=ln（x2-x-6）的定义域为集合A，集合B={x|
5x+1
＞1}．请你写出一个一元二次不等式，使它的解集为A∩B，并说明理由．
设函数f（x）=ln（x+a）+x2(a＞
2
)，
（1）若a=
3
2
，解关于x不等式f(e
x
-
3
2
)＜ln2+
1
4
；
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设函数f（x）=ln（x+a）+2x2．
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