Question

已知函数．

（Ⅰ）当时，证明函数只有一个零点；

（Ⅱ）若函数在区间上是减函数，求实数的取值范围

Answer 1

（Ⅱ）

解析:

（Ⅰ）当时，，其定义域是 

∴                     …………2分  

 令，即，解得或．

，∴  舍去．                           

当时，；当时，．

∴ 函数在区间上单调递增，在区间上单调递减

 ∴ 当x =1时，函数取得最大值，其值为．

当时，，即．

 ∴ 函数只有一个零点．                ……………………6分

（Ⅱ）显然函数的定义域为

∴    ………7分

①当时，在区间上为增函数，不合题意……8分

② 当时，等价于，即

此时的单调递减区间为．

依题意，得解之得．                     ………10分     

③ 当时，等价于，即

此时的单调递减区间为，

∴     得

综上，实数的取值范围是            …………12分

法二：

①当时，在区间上为增函数，不合题意……8分

②当时，要使函数在区间上是减函数，只需在区间

上恒成立，只要恒成立，

解得或

综上，实数的取值范围是            …………12分