Question

已知函数f(x)=ax³+bx²+c(x∈R)的图像与直线15x-y+10=0切于点(-1，-5)，且函数f(x)在x=4处取得极值．

(Ⅰ)求f(x)的解析式；

(Ⅱ)求f(x)的极值；

(Ⅲ)当x∈[-m，m]时，求f(x)最大值．

Answer 1

解：(1)f′(x)=3 ax²+2bx

∵f(x)的图像与直线15x-y+10=0切于点(-1，-5)

∴        ①

又f(x)在x=4处取得极值，∴48a+8b=0②

由①②得∴

∴f(x)=x³-6x²+2

(Ⅱ)f′(x)=3x²-12x=3x(x-4)

令f′(x)=3x(x-4)=0得x=0，x=4

列表如下：

x	(-∞,0)	0	(0,4)	4	(4,+∞)
f′(x)	+	0	-	0	+
f(x)		2		-30

从而当x=0时，f(x)的极大值为2

从而当x=4时，f(x)的极小值为-30

(Ⅲ)据(Ⅱ)知f(0)=2是极大值，在(4，+∞)内函数f(x)单调递增，并且可验证f(6)=2，据已知条件知m＞0

当0＜m≤6时,f(x)的最大值是f(0)=2

当m＞6时，f(x)的最大值是m³-6m²+2