题目内容

（2012•泉州模拟）选修4-2：矩阵与变换
已知矩阵M=
a2
-13
的一个特征值为1．
（Ⅰ）求矩阵M的另一个特征值；
（Ⅱ）设α=
3
2
，求M5α．
分析：（I）根据矩阵M的一个特征值为1，代入特征多项式求出a的值，从而求出另一个特征值；
（Ⅱ）分别求出特征值所对应的特征向量，然后将向量
α
用两特征向量线性表示，根据公式M5α=M5（ξ1+ξ2）=λ15ξ1+λ25ξ2进行求解即可．
解答：解：（Ⅰ）矩阵M的特征多项式f(λ)=
λ-a-2
1λ-3
=（λ-a）（λ-3）+2，…（1分）
又∵矩阵M的一个特征值为1，
∴f（1）=0，∴a=0，…（2分）
由f（λ）=λ（λ-3）+2=0，得λ1=1，λ2=2，
所以矩阵M的另一个特征值为2．…（3分）
（Ⅱ）矩阵M的一个特征值为λ1=1，对应的一个特征向量为ξ1=
2
1
，…（4分）
另一个特征值为λ2=2，对应的一个特征向量为ξ2=
1
1
，…（5分）
∵α=ξ1+ξ2，
∴M5α=M5（ξ1+ξ2）=15
2
1
+25
1
1
=
34
33
．…（7分）
点评：本题主要考查矩阵的特征值与特征向量等基础知识，考查运算求解能力及函数与方程思想，属于基础题．
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12
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1
2012
)+f(
2
2012
)+…+f(
4022
2012
)+f(
4023
2012
)=（　　）

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