Question

“对任意的正整数n，不等式nlga＜（n+1）lga^a（a＞0）都成立”的一个充分不必要条件是（　　）

• A、0＜a＜1
• B、0＜a＜

  1

  2

• C、0＜a＜2
• D、0＜a＜

  1

  2

  或a＞1

Answer 1

分析：原不等式等价于a（n+1）lga-nlga＞0，当a＞1时lga＞0，a（n+1）＞n，a（n+1）lga-nlga＞0成立，当0＜a＜1时lga＜0，要使a（n+1）lga-nlga＞0成立，只需a（n+1）-n＜0成立，即a＜n/（n+1），由此知所以0＜a＜

1

2

，是原不等式成立的充分不必要条件．

解答：解：原不等式等价于a（n+1）lga-nlga＞0，
当a＞1时lga＞0，a（n+1）＞n，a（n+1）lga-nlga＞0成立，
当0＜a＜1时lga＜0，要使a（n+1）lga-nlga＞0成立，
只需a（n+1）-n＜0成立，即a＜n/（n+1），
由

n

n+1

=1-

1

n+1

，知

n

n+1

最小值为

1

2

，
所以0＜a＜

1

2

，
所以0＜a＜

1

2

或a＞1是原不等式成立的充要条件
0＜a＜

1

2

是原不等式成立的充分不必要条件．
故选B．

点评：本题考查充分条件、必要条件和充要条件的性质和应用，解题时要认真审题，注意不等式的合理运用．