Question

已知函数f(x)=2asinxcosx-

2

a(sinx+cosx)+a+b的定义域为[0，

π

2

]，值域为[-1，2]．
（1）求实数a，b的值；
（2）数列{a_n}中，有an=

n-b

n-a

(n∈N*)．则该数列有最大项、最小项吗？若有，求出数列的最大项、最小项；若没有，请说明理由．

Answer 1

分析：（1）设t=sinx+cosx=

2

sin(x+

π

4

)，由x∈[0，

π

2

]，知t∈[1，

2

]，由sinxcosx=

t2-1

2

，知函数为y=2a

t2-1

2

-

2

at+a+b=a(t-

2

2

)2+b-

1

2

a，由此利用分类讨论思想能求出实数a，b的值．
（2）当

a=3( 2 +1) b=2

时，an=

n-2

n-(3 2 +3)

=1+

3 2 +1

n-(3 2 +3)

；当

a=-3( 2 +1) b=-1

，an=

n+1

n+(3 2 +3)

=1-

3 2 +2

n+(3 2 +3)

，由此能求出数列的最大项、最小项．

解答：解：（1）设t=sinx+cosx=

2

sin(x+

π

4

)，
由x∈[0，

π

2

]，知t∈[1，

2

]，…（2分）
又sinxcosx=

t2-1

2

，
则函数为y=2a

t2-1

2

-

2

at+a+b=a(t-

2

2

)2+b-

1

2

a，…（4分）
即g(t)=at2-

2

at+b=a(t-

2

2

)2+b-

1

2

a，t∈[1，

2

]，…（5分）
①当a＞0时，g（t）在t∈[1，

2

]单调递增，
有

g(1)=-1 g( 2 )=2

，得

a=3( 2 +1) b=2

；　　　　　…（6分）
②当a=0时，g（t）=b不合；　　　　　　　　　　…（7分）
③当a＜0时，g（t）在t∈[1，

2

]单调递减，
有

g(1)=2 g( 2 )=-1

，得

a=-3( 2 +1) b=-1

；　　　　…（8分）
（2）①当

a=3( 2 +1) b=2

时，
an=

n-2

n-(3 2 +3)

=1+

3 2 +1

n-(3 2 +3)

，
当n=7时，最小项为a7=-10-

15

2

2

，
当n=8时，最大项为a8=

30+18 2

7

；　　　　…（11分）
②当

a=-3( 2 +1) b=-1

时，
an=

n+1

n+(3 2 +3)

=1-

3 2 +2

n+(3 2 +3)

，
当n=1时，最小项为a1=3

2

-4，无最大项；…（14分）

点评：本题考查满足条件的实数值的求法，考查数列的最大项与最小项的求法，解题时要认真审题，注意数列和三角函数的综合应用，合理运用分类讨论思想、等价转化思想、数形结合思想进行解题．