Question

（本小题满分12分）

将两块三角板按图甲方式拼好（A、B、C、D四点共面），其中，，，AC = 2，现将三角板ACD沿AC折起，使点D在平面ABC上的射影O恰好落在边AB上（如图乙）．
(1)求证：AD⊥平面BDC；
(2)求二面角D－AC－B的大小；

(3)求异面直线AC与BD所成角的大小。

Answer 1

(1)证：由已知DO⊥平面ABC，∴平面ADB⊥平面ABC，　（2分）
又∵BC⊥AB，∴BC⊥平面ADB，又∵ADÌ平面ADB，∴BC⊥AD，
又∵AD⊥DC，∴AD⊥平面BDC　　　　　（4分）
(2)解：由(1)得AD⊥BD，
由已知AC = 2，得，AD = 1，∴BD = 1,∴O是AB的中点，
过D作DE⊥AC于E，连结OE，则OE⊥AC.
∴∠DEO是二面角D－AC－B的平面角，      （6分）
且. ∴.
即二面角D－AC－B的大小为．    （8分）

(3)解：取AC的中点G，连结OG，以O为原点，分别以GO、OB、OD所在直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，则，，，. ∴.   （10分）
设AC与BD所成的角为，则，∴．
即异面直线AC与BD所成角的大小为．   （12分）