Question

已知椭圆

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)经过点(2，

3

)，且离心率为

3

2

．椭圆上还有两点P、Q，O为坐标原点，连接OP、OQ，其斜率的积为-

1

4

．
（1）求椭圆方程；
（2）求证：|OP|²+|OQ|²为定值，并求出此定值；
（3）求PQ中点的轨迹方程．

Answer 1

分析：（1）根据椭圆的基本概念，结合题意建立关于a、b的方程组，解出a、b之值即可得到椭圆的方程；
（2）设P（x₁，y₁）、Q（x₂，y₂），根据直线的斜率公式化简k_OP•k_OQ=-

1

4

得x₁x₂=-4y₁y₂．由P、Q两点在椭圆上，将坐标代入椭圆方程并化简得y12+y22=8-(

x12

4

+

x22

4

)，两式联解算出

x12+x22

、

y12+y22

之值，即可证出|OP|²+|OQ|²=20（定值）．
（3）设PQ的中点为M（x，y），利用中点坐标公式解出用x₁、x₂、y₁、y₂表示x、y的方程组，结合（2）的结论化简整理，消去x₁、x₂、y₁、y₂得到PQ中点的轨迹方程．

解答：解：（1）∵椭圆

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)经过点(2，

3

)，且离心率为

3

2

．
∴

22 a2 + ( 3 )2 b2 =1 e= c a = a2-b2 a2 = 3 2

，解之得a=4，b=2
因此，椭圆的方程为

x2

16

+

y2

4

=1；
（2）设P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），可得k_OP=

y1

x1

，k_OQ=

y2

x2

∴k_OP•k_OQ=

y1y2

x1x2

=-

1

4

，化简得x₁x₂=-4y₁y₂，…①
又∵P、Q两点在椭圆上，可得y12=4-

x12

4

…②，y22=4-

x22

4

…③，
∴②+③可得：y12+y22=8-(

x12

4

+

x22

4

)，
由此得到|OP|2+|OQ|2=x12+x22+y12+y22=8+

3

4

(x12+x22)
根据①得x12x22=16y12y22，
代入②、③得

x12x22=16(4- x1 4 )(4- x22 4 )

，化简可得

x12+x22=16

∴|OP|²+|OQ|²=20；
（3）设PQ的中点为M（x，y），可得

2x=x1+x2 2y=y1+y2

，
平方可得

4x2=x12+x22+2x 1x2 4y2=y12+y22+2y1y2

，
将

x12+x22=16

与y12+y22=8-

1

4

x12+x22)=4

代入，可得

4x2=16+2x1x2 4y2=4+2y1y2

，
∴

y1y2

x1x2

=

4x2-16

4y2-4

=-

1

4

，化简得

x2

8

+

y2

2

=1，即为PQ中点的轨迹方程．

点评：本题给出椭圆满足的条件，求椭圆的方程并依此求动点轨迹方程．着重考查了椭圆的标准方程与简单几何性质、直线的斜率和直线与椭圆的位置关系等知识，属于中档题．