Question

把所有正整数按上小下大，左小右大的原则排成如图所示的数表，其中第i行共有2^i-1个正整数，设a_ij（i，j∈N^*）表示位于这个数表中从上往下数第i行，从左往右第j个数．
（1）求a₆₉的值；
（2）用i，j表示a_ij；
（3）记A_n=a₁₁+a₂₂+a₃₃+…+a_nn（n∈N^*），求证：当n≥4时，An＞n+

C

3 n

．

Answer 1

分析：（1）根据已知条件可知每行的正整数的个数是等比数列，据此可先算出前5行的数分别为1，2，4，8，16总共31个，从而得到a₆₉的值；
（2）观察已知可得每行的第一个数是以1为首项，以2为公比的等比数列，从而得a_i1=2^i-1，每列的数又构成了以1为公差的等差数列，所以a_ij=2^i-1+j-1，根据该通项判断300的位置
（3）利用（2）可得a_nn=2^n-1+n-1，用分组求和，即可得到结论．

解答：（1）解：由于第i行有2^i-1个数，前5行共有1+2+4+8+16=31个数
所以第6行的第9个数是正整数的第40个数，a69=25+(9-1)=40…（2分）
（2）解：因为数表中前i-1行共有1+2+2²+…+2^i-2=2^i-1-1个数，则第i行的第一个数是2^i-1，
所以aij=2i-1+j-1…（5分）
（3）证明：因为aij=2i-1+j-1，则ann=2n-1+n-1(n∈N*)，…（6分）
所以An=(1+2+22+…+2n-1)+[0+1+2+…+(n-1)]=2n-1+

n(n-1)

2

…（8分）
当n≥4时，An=(1+1)n-1+

n(n-1)

2

＞

C

0 n

+

C

1 n

+

C

2 n

+

C

3 n

-1+

n(n-1)

2

=n2+

C

3 n

．…（10分）

点评：本题以表格的形式给出正整数的排序方式，其关键是由表中的排序观察总结出每行的第一个数等比的规律及每行内的数成等差的规律，从而得出任意一个数的通项公式，结合通项的特点，又考查了分组求和的方法，从而培养学生的观察、发现、总结规律的能力，综合运用公式的能力．