题目内容
（本小题满分12分）
如图6，已知正三棱柱ABC—A1B1C1中，D是BC的中点，AA1=AB=1。
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（2）求证：A1C//平面AB1D；
（3）求二面角B—AB1—D的正切值。
（本小题满分12分）
解法一：
证明：（1）因为B1B⊥平面ABC，AD
平面ABC，
所以AD⊥B1B （1分）
因为D为正△ABC中BC的中点，
所以AD⊥BD （2分）
又B1B∩BC=B，
所以AD⊥平面B1BCC1 （3分）
又AD平面AB1D，故平面AB1D⊥平面B1BCC1 （4分）
（2）连接A1B，交AB1于E，连DE （5分）
因为点E为矩形A1ABB1对角线的交点，所以E为AB1的中点 （6分）
又D为BC的中点，所以DE为△A1BC的中位线，
所以DE//A1C （7分）
又DE平面AB1D，所以A1C//平面AB1D （8分）
（3）解：过D作DF⊥AB于F，过F作FG⊥AB1于G，连接DG。
因为平面A1ABB1⊥平面ABC，DF⊥AB，所以DF⊥平面A1ABB1。
又AB1平面A1ABB1，所以AB1⊥DF。
又FG⊥AB1，所以AB1⊥平面DFG，所以AB1⊥DG。 （9分）
又AB1⊥FG，所以∠DGF为二面角B—AB1—D的平面角。 （10分）
因为AA1=AB=1，
所以在正△ABC中，
在
（11分）
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（12分） 解法二：
解：建立如图所示的直角坐标系，依题意有：
（1）证明：由
，
得
又BC∩⊥BB1=B，所以AD⊥平面B1BCC1。 （4分）
又AD平面AB1D，所以平面AB1D⊥B1BCC1 （5分）
（2）证明：连接A1B，交AB1于E，连DE，
因为点E为正方形A1ABB1对角线的交点，所以E为AB1的中点，
即
（6分）
又DE平面AB1D，所以A1C//平面AB1D （8分）
（3）解：设平面ABB1的一个法向量为
由
（9分）
设平面AB1D的一个法向量为
由
（10分）
所以
（11分）
所以
，
依图可得二面角B—AB1—D的正切值为
（12分）
，且
。①求
的最大值及最小值；②求
、
、
.现有3名工人独立地从中任选一个项目参与建设.求：
