题目内容

已知直线l的方程为x=-2，且直线l与x轴交于点M，圆O：x²+y²=1与x轴交于A，B两点．
（1）过M点的直线l₁交圆于P、Q两点，且圆孤PQ恰为圆周的 $数学公式$ ，求直线l₁的方程；
（2）求以l为准线，中心在原点，且与圆O恰有两个公共点的椭圆方程；
（3）过M点作直线l₂与圆相切于点N，设（2）中椭圆的两个焦点分别为F₁，F₂，求三角形△NF₁F₂面积．

解：（1）∵PQ为圆周的 $\text{[math]}$ ，∴ $\text{[math]}$ ．∴O点到直线l₁的距离为 $\text{[math]}$ ．----（2分）
设l₁的方程为y=k（x+2），∴ $\text{[math]}$ ，∴ $\text{[math]}$ ．∴l₁的方程为 $\text{[math]}$ ．---（5分）
（2）设椭圆方程为 $\text{[math]}$ ，半焦距为c，则 $\text{[math]}$ ．∵椭圆与圆O恰有两个不同的公共点，则a=1或b=1．-（6分）
当a=1时， $\text{[math]}$ ，∴所求椭圆方程为 $\text{[math]}$ ；--（8分）
当b=1时，b²+c²=2c，∴c=1，∴a²=b²+c²=2．
所求椭圆方程为 $\text{[math]}$ ．---（10分）
（3）设切点为N，则由题意得，在Rt△MON中，MO=2，ON=1，则∠NMO=30°，
N点的坐标为 $\text{[math]}$ ，---（11分）

若椭圆为 $\text{[math]}$ ．其焦点F₁，F₂
分别为点A，B故 $\text{[math]}$ ，--（13分）
若椭圆为 $\text{[math]}$ ，其焦点为 $\text{[math]}$ ，
此时 $\text{[math]}$ --（15分）
分析：（1）由PQ为圆周的 $\text{[math]}$ ，知 $\text{[math]}$ ．所以O点到直线l₁的距离为 $\text{[math]}$ ，由此能求出l₁的方程．
（2）设椭圆方程为 $\text{[math]}$ ，半焦距为c，则 $\text{[math]}$ ．由椭圆与圆O恰有两个不同的公共点，则a=1或b=1．由此能求出所求椭圆方程．
（3）设切点为N，则由题意得，在Rt△MON中，MO=2，ON=1，则∠NMO=30°，N点的坐标为 $\text{[math]}$ ，由此能求出三角形△NF₁F₂面积．
点评：本题主要考查椭圆标准方程，简单几何性质，直线与椭圆的位置关系，椭圆的简单性质等基础知识．考查运算求解能力，推理论证能力；考查函数与方程思想，化归与转化思想．