Question

已知抛物线y²=4x，点F是抛物线的焦点，点M在抛物线上，O为坐标原点．
（1）当 

FM

•

OM

=4时，求点M的坐标；
（2）求 

| OM |

| FM |

的最大值．

Answer 1

分析：（1）求出焦点F的坐标，设出点M（x₀，y₀），其中x₀≥0，由 

FM

•

OM

=4，求得x₀，y₀的值，即得点M的坐标．
（2）设点M（x，y），化简 

| OM |

| FM |

的 解析式为

-3 (x+1)2 + 2 x+1 +1

，设 t=

1

x+1

(0＜t≤1)，

| OM |

| FM |

=

-3(t- 1 3 )2+ 4 3

，利用二次函数的性质求得其最大值．

解答：解：（1）抛物线y²=4x的焦点F的坐标是 （1，0），设点M（x₀，y₀），其中x₀≥0．
因为 

FM

=(x0-1，y0)，

OM

=(x0，y0)，所以，

FM

•

OM

=x0(x0-1)+

y

2 0

=

x

2 0

+3x0=4，
解得 x₀=1，或 x₀=-4（舍）． 因为 y₀²=4x₀，所以，y₀=±2，即点M的坐标为（1，2），（1，-2）．
（2）设点M（x，y），其中x≥0，

| OM |

| FM |

  =  

x2+y2

(x-1)2+y2

  =  

x2+4x (x+1)2

  =  

-3 (x+1)2 + 2 x+1 +1

．
设 t=

1

x+1

(0＜t≤1)，则 

| OM |

| FM |

  =  

-3t2+2t+1

  =  

-3(t- 1 3 )2+ 4 3

．
因为 0＜t≤1，所以，当 t=

1

3

（即x=2）时，

| OM |

| FM |

取得最大值

2 3

3

．

点评：本题考查抛物线的标准方程，以及简单性质的应用，两个向量的数量积公式、向量的模的定义，