题目内容
20、如图，在四棱锥P-ABCD中，PD⊥底面ABCD，底面ABCD为正方形，PD=DC，E、F分别是AB、PB的中点．（1）求证：CD∥面PAB；
（2）求异面直线EF与CD所成角；
（3）在AD上是否存在点Q，使QF⊥面PBC，给出理由或证明．
分析：（1）由正方形的性质，我们可得CD∥AB，结合线面平行的判定定理可得CD∥面PAB；
（2）由（1）中CD∥AB，结合PD⊥底面ABCD，我们易证明CD⊥面PAD，即CD⊥PA，由E、F分别是AB、PB的中点，结合三角形中位线定理，得EF∥PA，进而得到异面直线EF与CD所成角；
（3）取PC中点K，AD的中点Q，连DK，FK，易证DK⊥面PBC，结合QF∥DK，即可得到QF⊥面PBC．
（2）由（1）中CD∥AB，结合PD⊥底面ABCD，我们易证明CD⊥面PAD，即CD⊥PA，由E、F分别是AB、PB的中点，结合三角形中位线定理，得EF∥PA，进而得到异面直线EF与CD所成角；
（3）取PC中点K，AD的中点Q，连DK，FK，易证DK⊥面PBC，结合QF∥DK，即可得到QF⊥面PBC．
解答：解：（1）∵CD∥AB，AB?面PAB，CD?面PAB，
∴CD∥面PAB （4分）
（2）∵CD∥AB，CD⊥PD
∴CD⊥面PAD，
∴CD⊥PA，又EF∥PA
∴EF与CD所成角为90°（8分）
（3）当Q是AD中点时，有QF⊥面PBC．
取PC中点K，连DK，FK，则DK⊥面PBC．
又FK∥AD，FK=AD，
∴QF∥DK
∴QF⊥面PBC（12分）
∴CD∥面PAB （4分）
（2）∵CD∥AB，CD⊥PD
∴CD⊥面PAD，
∴CD⊥PA，又EF∥PA
∴EF与CD所成角为90°（8分）
（3）当Q是AD中点时，有QF⊥面PBC．
取PC中点K，连DK，FK，则DK⊥面PBC．
又FK∥AD，FK=AD，
∴QF∥DK
∴QF⊥面PBC（12分）
点评：本题考查的知识眯是异面直线及其所成的角，直线与平面平行的判定，直线与平面垂直的判定，（3）中是探索使结论成立的充分条件，只要证明当Q为AD中点时，满足题意即可．
练习册系列答案
相关题目
如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是矩形．已知AB=3，AD=2，PA=2，PD=2
如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，四边形ABCD为正方形，AB=4，PA=3，点A在PD上的射影为点G，点E在AB上，平面PEC⊥平面PDC．
如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，∠BCD=120°，BC⊥AB，CD⊥AD，BC=CD=PA=a，
如图，在四棱锥P-ABCD中，底面是边长为a的菱形，∠ABC=60°PD⊥面ABCD，PC=a，E为PB中点
（2008•武汉模拟）如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是直角梯形，BC∥AD，且∠BAD=90°，又PA⊥底面ABCD，BC=AB=PA=1，AD=2．