Question

已知(

4	1 x

+

3	x2

)n展开式中的倒数第三项的系数为45，求：
（1）含x³的项；
（2）系数最大的项．

Answer 1

分析：（1）利用二项展开式的通项公式求出倒数第三项的系数列出方程求出n；
利用二项展开式的通项公式求出通项，令x的指数为3求出展开式含x³的项．
（2）由通项得到项的系数与二项式系数相等，据二项式系数的性质：展开式中间项的二项式系数最大求出系数最大的项．

解答：解：（1）由题设知C_n^n-2=45，即C_n²=45，
∴n=10.Tr+1=

C

r 10

(x-

1

4

)10-r•(x

2

3

)r=

C

r 10

x

11r-30

12

，
令

11r-30

12

=3，得r=6，
含x³的项为T₇=C₁₀⁶x³=C₁₀⁴x³=210x³．

（2）由通项知，展开式项的系数是二项式系数
据二项式系数的性质：展开式中间项的二项式系数最大
故系数最大的项为中间项，即T6=

C

5 10

x

55-30

12

=252x

25

12

.

点评：本题考查利用二项展开式的通项公式解决二项展开式的特定项问题；二项式系数的性质：展开式中间项的二项式系数最大．