Question

已知椭圆的中心为坐标原点O，椭圆短轴长为2，动点 在椭圆的准线上。

（1）求椭圆的标准方程；

（2）求以OM为直径且被直线截得的弦长为2的圆的方程；

（3）设F是椭圆的右焦点，过点F作OM的垂线与以OM为直径的圆交于点N，求证：线段ON的长为定值，并求出这个定值。

Answer 1

解：（1）由，得                                ……………1分

又由点M在准线上，得                                  ……………2分

故，    从而                           ……………4分

所以椭圆方程为                                    ……………5分

（2）以OM为直径的圆的方程为

即                                

其圆心为,半径                                  ……………7分

因为以OM为直径的圆被直线截得的弦长为2

所以圆心到直线的距离             ……………9分

所以，解得

所求圆的方程为                            ……………10分

（3）方法一：由平几知：

直线OM：，直线FN：                    ……………12分

由得

所以线段ON的长为定值。                              ……………16分

方法二、设，则

又

所以，为定值。