Question

已知函数f(x)=log

1

2

(x+1)，当点P(x0，y0)在y=f(x)的图象上移动时，点Q(

x0-t+1

2

，y0)(t∈R)在函数y=g(x)的图象上移动．
（I）点P的坐标为（1，-1），点Q也在y=f（x）的图象上，求t的值；
（Ⅱ）求函数y=g（x）的解析式；
（Ⅲ）若方程g(

x

2

)=log

1

2

2x

x+1

的解集是∅，求实数t的取值范围．

Answer 1

分析：（I）由已知中点P的坐标为（1，-1），我们可以求出点Q的坐标（含参数t），由点Q也在y=f（x）的图象上，可以构造一个关于t的方程，解方程求出t的值．
（II）由已知中点Q(

x0-t+1

2

，y0)(t∈R)在函数y=g(x)的图象上，可得

x0=2x+t-1 y0=y

，由点P（x₀，y₀）在y=f（x）的图象上，满足y=f（x）的解析式，代入即可求得函数y=g（x）的解析式；
（III）若方程g(

x

2

)=log

1

2

2x

x+1

的解集是∅，则方程组

2x x+1 =t+x x＞0或x＜-1

无解，构造函数h（x）=

2x

x+1

-x，求出函数的值域后，即可得到方程g(

x

2

)=log

1

2

2x

x+1

的解集是∅时，实数t的取值范围．

解答：解：（I）当点P坐标为（1，-1），点Q的坐标为（

2-t

2

，-1），
∵点Q也在y=f（x）的图象上，∴-1=log

1

2

（

2-t

2

+1）
∴t=0．
（Ⅱ）设Q（x，y）在y=g（x）的图象上，
则

x= x0-t+1 2 y=y0

?

x0=2x+t-1 y0=y

而点P（x₀，y₀）在y=f（x）的图象上．
∴y₀=log

1

2

（2x+t）即为所求
（Ⅲ）原方程可化为

2x x+1 =t+x x＞0或x＜-1

令h（x）=

2x

x+1

-x=-[

2

x+1

+（x+1）]+3
①当x＞0时，

2

x+1

+(x+1)≥2

2

(x=

2

-1时取等号）∴h（x）≤3-2

2

；
②当x＜-1时，

2

x+1

+(x+1)≤-2

2

(x=-

2

-1时取等号），∴h（x）≥3+2

2

故方程h（x）=t的解集为?时，t的取值范围为（3-2

2

，3+2

2

）．

点评：本题考查的知识点是对数函数的图象与性质的综合应用，求对数函数的解析式，其中利用坐标系，求出函数y=g（x）的解析式中解答本题的关键．