Question

已知数列{a_n}的前n项和为S_n，a₁=且S_n=S_n﹣1+a_n﹣1+，数列{b_n}满足b₁=﹣
且3b_n﹣b_n﹣1=n（n≥2且n∈N*）．
（1）求{a_n}的通项公式；
（2）求证：数列{b_n﹣a_n}为等比数列；
（3）求{b_n}前n项和的最小值．

Answer 1

（1）由S_n=S_n﹣1+a_n﹣1+，得S_n﹣S_n﹣1=a_n﹣1+，2a_n=2a _n﹣1+1，a_n=a _n﹣1+
∴a_n=a₁+（n﹣1）d=n﹣
（2）证明：∵3b_n﹣b_n﹣1=n，∴b_n=b_n﹣1+n，
∴b_n﹣a_n=b_n﹣1+n﹣n+=b_n﹣1﹣n+=（b_n﹣1﹣n+）；
b_n﹣1﹣a_n﹣1=b_n﹣1﹣（n﹣1）+=b_n﹣1﹣n+；
∴由上面两式得，
又b₁﹣a₁=﹣﹣=﹣30
∴数列{b_n﹣a_n}是以﹣30为首项，为公比的等比数列．
（3）由（2）得b_n﹣a_n=﹣30×，
∴=，
b_n﹣b_n﹣1=
==＞0，
∴{b_n}是递增数列当n=1时，
b₁=﹣＜0；
当n=2时，b₂=＜0；
当n=3时，b₃=＜0；
当n=4时，b₄=＞0，
所以，从第4项起的各项均大于0，故前3项之和最小．
且S₃=．