Question

已知数列a_n的通项公式a_n=

1

(n+1)2

(n∈N+)，记f（n）=（1-a₁）（1-a₂）…（1-a_n），试通过计算f（1），f（2），f（3）的值，推测出f（n）的值．

Answer 1

分析：根据f（n）=（1-a₁）（1-a₂）…（1-a_n），依次求得f（1），f（2），f（3）的值，将结果转化为同一的结构形式，进而推广到一般得出f（n）的值．

解答：解：∵f（n）=（1-a₁）（1-a₂）…（1-a_n），
f(1)=1-a1=1-

1

4

=

3

4

，（2分）
f(2)=(1-a1)(1-a2)=f(1)•(1-

1

9

)=

3

4

•

8

9

=

2

3

=

4

6

，（4分）f(3)=(1-a1)(1-a2)(1-a3)=f(2)•(1-

1

16

)=

2

3

•

15

16

=

5

8

．（6分）
根据其结构特点可得：f(n)=

n+2

2(n+1)

．（12分）

点评：本题主要通过求值，来考查数列的规律性，同时还考查学生概括，抽象，推理，从具体到一般的能力．