Question

在平面直角坐标系xOy中，点P是第一象限内曲线y=-x³+1上的一个动点，点P处的切线与两个坐标轴交于A，B两点，则△AOB的面积的最小值为______．

Answer 1

根据题意设P的坐标为（t，-t³+1），且0＜t＜1，
求导得：y′=-3x²，故切线的斜率k=y′_|x=t=-3t²，
所以切线方程为：y-（-t³+1）=-3t²（x-t），
令x=0，解得：y=2t³+1；令y=0，解得：x=

2t3+1

3t2

，
所以△AOB的面积S=

1

2

（2t³+1）•

2t3+1

3t2

=

1

6

(2t2+

1

t

) 2，
设y=2t²+

1

t

=2t²+

1

2t

+

1

2t

≥3

3	2t2•  1 2t • 1 2t

，
当且仅当2t²=

1

2t

，即t³=

1

4

，即t=

3	1 4

取等号，
把t=

3	1 4

代入得：S_min=

3 3 2

4

．
故答案为：

3 3 2

4