Question

已知二次函数f（x）=ax²+bx+c（a，b，c∈R，a≠0），f（-2）=f（0）=0，f（x）的最小值为-1．
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）设g（x）=f（-x）-mx+1，若g（x）在[-1，1]上是单调函数，求实数m的取值范围；
（3）设h（x）=f（x）-nx+2，若h（x）在[-1，1]上的最小值是1，求实数n的值．

Answer 1

分析：（1）二次函数y=ax²+bx+c，满足f（-2）=f（0）=0，f（x）的最小值为-1．
所以抛物线的顶点坐标是（-1，-1），与x轴相交于（-2，0），（0，0），把三点坐标代入函数的表达式，列出方程组，解出各系数则可．
（2）由于g（x）在[-1，1]上是单调函数，故函数对称轴在区间的左侧或区间的右侧，建立不等式-

2-m

2

≤-1或-

2-m

2

≥1，解出m即可；
（3）通过讨论n的取值，确定函数在区间[-1，1]的单调性，进而得到h（x）在[-1，1]上的最小值是1，建立方程，解出n即可．

解答：解：（1）由于二次函数f（x）=ax²+bx+c满足f（-2）=f（0）=0，f（x）的最小值为-1，
则f（-1）=-1，
故实数a，b，c满足的关系式为

4a+2b+c=0 c=0   a+b+c=-1

，
解得a=1，b=-2，c=0．
故这个二次函数的表达式为y=x²-2x．
（2）设g（x）=f（-x）-mx+1，则g（x）=（-x）²-2（-x）-mx+1=x²+（2-m）x+1，
可得函数g（x）的对称轴为x=-

2-m

2

，
由于g（x）在[-1，1]上是单调函数，
则-

2-m

2

≤-1或-

2-m

2

≥1，解得 m≤0或m≥4，
故实数m的取值范围为（-∞，0]∪[4，+∞）．
（3）设h（x）=f（x）-nx+2，则h（x）=x²-2x-nx+2=x²-（2+n）x+2，
可得函数h（x）的对称轴为x=1+

n

2

，
①当n≥0时，则1+

n

2

≥1，故函数h（x）=x²-（2+n）x+2在区间[-1，1]上为减函数，
则h（x）_min=h（1）=1-（2+n）+2=1-n=1，解得n=0；
②当n≤-4时，则1+

n

2

≤-1，故函数h（x）=x²-（2+n）x+2在区间[-1，1]上为增函数，
则h（x）_min=h（-1）=1+（2+n）+2=5+n=1，解得n=-4；
③当-4＜n＜0时，则-1＜1+

n

2

＜1，故函数h（x）=x²-（2+n）x+2在区间[-1，1+

n

2

]上为减函数，
在区间[1+

n

2

，1]上为增函数，
则h（x）_min=h（1+

n

2

）=（1+

n

2

）²-（2+n）（1+

n

2

）+2=1，
解得n=0或n=-4，故当-4＜n＜0时，n无解；
综上可知，实数n的值为0或4．

点评：此题考查了待定系数法求二次函数解析式以及二次函数的单调性的应用，熟练掌握待定系数法以及正确讨论对称轴与区间的关系是解本题的关键．