Question

已知函数
（I）求的解集；
（II）设a>0,g(x)=ax²－2x＋5, 若对任意实数，均有恒成立，求a的取值范围。

Answer 1

（1）t＞2   (2)a≥1

试题分析：（I）由函数f（t）=|t+1|-|t-3|＞2可得①，或②，或③．解①得t∈∅，解②得 2＜t＜3，解③得 t≥3．综上可得，不等式的解集为{t|t＞2}．
（II）∵a＞0，g（x）=ax²-2x+5，若对任意实数x、t，均有g（x）≥f（t）恒成立，故有g_min（x）≥f_max（t）．由题意可得，当x=时，g（x）取得最小值为g_min（x）=．而由绝对值的意义可得f（t）的最大值等于4，∴≥4，解得 a≥1，故a的取值范围为[1，+∞）．
点评：不等式选讲主要考查绝对值不等式的解法、不等式证明及其应用，要求学生学会从分段函数角度来解绝对值不等式及绝对值不等式的最值问题等，掌握常见的证明不等式的方法如综合法、分析法、数学归纳法等。