Question

2．设A、B是双曲线x²-$\frac{{y}^{2}}{2}$=λ（λ≠0）上两点，N（1，2）是线段AB的中点，线段AB的垂直平分线交双曲线于C、D两点．（1）确定实数λ的取值范围；
（2）试判断A、B、C、D四点是否共圆？说明理由．

Answer 1

分析 （1）设直线AB的方程为yy=k（x-1）+2，代入x²-$\frac{{y}^{2}}{2}$=λ，整理得：（2-k²）x²-2k（2-k）x-（2-k）²-2λ=0，然后结合题设条件确定实数λ的取值范围；
（2）由题设条件可知λ＞1，直线CD的方程为y=-x+3，代入双曲线方程，整理得x²+6x-9-2λ=0．将直线AB的方程y=x+1代入双曲线方程整理得x²-2x-1-2λ=0，由此通过计算知$\overrightarrow{CA}•\overrightarrow{DA}$=0，A在以CD为直径的圆上．又B为A关于CD的对称点，可得A、B、C、D四点共圆．

解答 解：（1）依题意，可设直线AB的方程为y=k（x-1）+2，
代入x²-$\frac{{y}^{2}}{2}$=λ，整理得：（2-k²）x²-2k（2-k）x-（2-k）²-2λ=0①
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则x₁，x₂是方程①的两个不同的根，
∴△=4k²（2-k）²-4（2-k²）[-（2-k）²-2λ]＞0，②
且x₁+x₂=$\frac{2k（2-k）}{2-{k}^{2}}$．由N（1，2）是线段AB的中点，得x₁+x₂=2，
∴$\frac{2k（2-k）}{2-{k}^{2}}$=2解得k=1，代入②得λ＞1，
即λ的取值范围是（1，+∞）．
（2）由（1）知λ＞1，
∵CD垂直平分AB，
∴直线CD的方程为y=-x+3，代入双曲线方程，整理得x²+6x-9-2λ=0．③
将直线AB的方程y=x+1代入双曲线方程整理得x²-2x-1-2λ=0．④
解③和④式可得x_1，2=-3±$\sqrt{18+2λ}$，x_3，4=1±$\sqrt{2+2λ}$，
不妨设A（-3+$\sqrt{18+2λ}$，-2±$\sqrt{18+2λ}$），
C（1+$\sqrt{2+2λ}$，2-$\sqrt{2+2λ}$），D（1-$\sqrt{2+2λ}$，4+$\sqrt{2+2λ}$）．
∴可得$\overrightarrow{CA}•\overrightarrow{DA}$=0，
∴A在以CD为直径的圆上．
又B为A关于CD的对称点，
∴A、B、C、D四点共圆．

点评 本题综合考查直线和双曲线的位置关系，难度较大，解题时要仔细审题，注意公式的灵活运用．