Question

（2013•保定一模）双曲线

x2

a2

-

y2

b2

=1（b＞a＞0）与圆x²+y²=（c-

b

2

）²无交点，c²=a²+b²，则双曲线的离心率e的取值范围是（　　）

• A．（1，

  5

  3

  ）
• B．（

  2

  ，

  5

  3

  ）
• C．、（

  2

  ，2）
• D．（

  3

  ，2）

Answer 1

分析：利用b＞a＞0，可得e＞

2

，利用双曲线与圆无交点，可得c-

b

2

＜a，由此可确定双曲线的离心率e的取值范围．

解答：解：∵b＞a＞0，∴e=

c

a

=

1+( b a )2

＞

2

∵双曲线与圆无交点，∴c-

b

2

＜a
∴(c-a)2＜

b2

4

∴4c²-8ac+4a²＜c²-a²
∴3c²-8ac+5a²＜0
∴3e²-8e+5＜0
∴1＜e＜

5

3

∴

2

＜e＜

5

3

故选B．

点评：本题考查双曲线的几何性质，考查双曲线与圆的位置关系，考查学生的计算能力，属于中档题．