题目内容

已知函数f（x）= $数学公式$ ，其中b∈R．
（Ⅰ）求f（x）的单调区间；
（Ⅱ）设b＞0．若?x∈[ $数学公式$ ， $数学公式$ ]，使f（x）≥1，求b的取值范围．

解：（Ⅰ）①当b=0时，f（x）= $\text{[math]}$ ．
故f（x）的单调减区间为（-∞，0），（0，+∞）；无单调增区间．
②当b＞0时，f′（x）= $\text{[math]}$ ．
令f′（x）=0，得x₁= $\text{[math]}$ ，x₂=- $\text{[math]}$ ．
f（x）和f′（x）的情况如下：

x	（-∞，- $\text{[math]}$ ）	- $\text{[math]}$	（- $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ）	$\text{[math]}$	（ $\text{[math]}$ ，+∞）
f′（x）	-	0	+	0	-
f（x）	↘		↗		↘

故f（x）的单调减区间为（-∞，- $\text{[math]}$ ），（ $\text{[math]}$ ，+∞）；单调增区间为（- $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ）．
③当b＜0时，f（x）的定义域为D={x∈R|x≠± $\text{[math]}$ }．
因为f′（x）= $\text{[math]}$ ＜0在D上恒成立，
故f（x）的单调减区间为（-∞，- $\text{[math]}$ ），（- $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ），（ $\text{[math]}$ ，+∞）；无单调增区间．
（Ⅱ）解：因为b＞0，x∈[ $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ]，
所以f（x）≥1等价于b≤-x²+x，其中x∈[ $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ]．
设g（x）=-x²+x，g（x）在区间[ $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ]上的最大值为g（ $\text{[math]}$ ）= $\text{[math]}$ ．
则“?x∈[ $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ]，使得b≤-x²+x”等价于b≤ $\text{[math]}$ ．
所以b的取值范围是（0， $\text{[math]}$ ]．
分析：（Ⅰ）分情况讨论：①当b=0时，②当b＞0时，③当b＜0时，然后利用导数即可求得单调区间；
（Ⅱ）f（x）≥1等价于b≤-x²+x，g（x）=-x²+x，则“?x∈[ $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ]，使得b≤-x²+x”等价于b小于等于g（x）在区间[ $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ]上的最大值．
点评：本题考查利用导数研究函数的单调性、函数恒成立及函数在区间上的最值问题，考查学生综合运用所学知识分析问题解决问题的能力．