Question

（文科）（13分）在如图所示的空间几何体中，△ABC，△ACD都是等边三角形，AE=CE，DE//平面ABC，平面ACD⊥平面ABC.

（1）求证：DE⊥平面ACD；（2）若AB=BE=2，求多面体ABCDE的体积.

Answer 1

（文科）

解：（1）法一：△ABC，△ACD都是等边三角形，

AE=CE，取AC中点O，连接BO，DO，EO，则

BO⊥AC，DO⊥AC，EO⊥AC  ……………2分

，

ODEF是平面四边形  ………………4分

平面ACD   ………………6分

    法二：△ABC，△ACD都是等边三角形，

AE=CE，取AC中点O，连接BO，DO，EO，则

BO⊥AC，DO⊥AC，EO⊥AC  ……………2分

，平面OBE

即OB，OD，OE平面OBED

又平面ABC，DE//BO   ………………4分

∴DE⊥平面ACD   ………………6分

  

（2）由EF//DO，DE//OF，知DE=OF，EF=DO，

又AB=BE=2，△ABC，△ACD都是等边三角形，EF⊥BO

 ………………8分

平面ACD，

；

又三棱锥E—ABC的体积 ………………12分

    ∴多面体ABCDE的体积为  ………………13分