Question

已知圆O：x²+y²=1（点O为坐标原点），一条直线l：y=kx+b（b＞0）与圆O相切，并与椭圆

x2

2

+y2=1交于不同的两点A、B．
（1）设b=f（x），求f（k）的表达式；
（2）若

OA

•

OB

=

2

3

，求直线l的方程．

Answer 1

分析：（1）利用圆心到直线的距离为半径1求得k和b的关系式，同时把直线与椭圆方程联立消去y根据判别式大于或等于0求得k的范围，综合可得f（k）的表达式；
（2）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），根据（1）可表示出x₁+x₂和x₁x₂，进而可求得

OA

•

OB

，最后根据

k2+1

2k2+1

=

2

3

•k2=1.求得k，进而求得b，则直线l的方程可得．

解答：解：（1）y=kx+b（b＞0）与x²+y²=1相切，则

|b|

1+k2

=1，
即b²=k²+1，∵b＞0，∴b=

k2+1

.
由

y=kx+b x2 2 +y2=1

消去y，
得（2k²+1）x²+4kbx+2b²-2=0．
∵l与椭圆交于不同的两点，
∴△=16k²b²-4（2k²+1）（2b²-2）=8k²＞0，k≠0．
∴b=

k2+1

(k≠0)
（2）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
则x1+x2=-

4kb

2k2+1

，x1x2=

2b2-2

2k2+1

OA

•

OB

=x1x2+y1y2=+x1x2+(kx1+b)(kx2+b)=（1+k²）x₁x₂+kb（x₁+x₂）+b²=(1+k2)

2k2+1

2b2-2

+kx

2k2+1

-4kb

+b2=

k2+1

2k2+1

OA

•

OB

=

2

3

，
∴

k2+1

2k2+1

=

2

3

•k2=1.
所以b²=2，∵b＞0，∴b=

2

，
∴l：y=x+

2

或y=-x+

2

点评：本题主要考查了直线与圆锥曲线的综合问题．一般是把直线方程与圆锥曲线方程联立消元，根据韦达定理来解决．