Question

如图，三棱锥中，是的中点，，，，，二面角的大小为．

（1）证明：平面；

（2）求直线与平面所成角的正弦值．

 

Answer 1

【答案】

（1）取BD中点M，连结MA，MB得到

又，即 

又

平面

证得，证，平面 ；

(2)直线与平面所成角的正弦值为．

【解析】

试题分析：（1）取BD中点M，连结MA，MB            1分

所以

又，即            2分

又

即为的平面角           4分

所以

，平面

                5分

在中，，如图②，取AM中点O

则知为正三角形，

即            6分

又

平面            7分

(2)解法一、向量法：

建立如图直角坐标系M-xyz           8分

，，， 

，，        9分

设平面的法向量为，即有       10分

得                          11分

设直线与平面所成角为

则                     13分

即直线与平面所成角的正弦值为．            14分

解法二、几何法：提示：取AB中点N   

考点：本题主要考查立体几何中的垂直关系、角的计算。

点评：典型题，立体几何题，是高考必考内容，往往涉及垂直关系、平行关系、角、距离、体积的计算。在计算问题中，有“几何法”和“向量法”。利用几何法，要遵循“一作、二证、三计算”的步骤，利用空间向量，省去繁琐的证明，也是解决立体几何问题的一个基本思路。注意运用转化与化归思想，将空间问题转化成平面问题。