题目内容

已知数列{a_n}：满足：a₁=3，a_n+1= $数学公式$ ，n∈N^，记b_n= $数学公式$ ．
（I）求证：数列{b_n}是等比数列；
（II）若a_n≤t•4ⁿ对任意n∈N^恒成立，求t的取值范围；
（III）证明：a₁+a₂+…a_n＞2n+ $数学公式$ ．

证明：（Ⅰ）由a_n+1= $\text{[math]}$ 得，a_n+1-2= $\text{[math]}$ -2= $\text{[math]}$ ①，
a_n+1+1= $\text{[math]}$ +1= $\text{[math]}$ ②（2分）
∴ $\text{[math]}$ 得： $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ • $\text{[math]}$ ，即b_n+1= $\text{[math]}$ b_n，且b₁= $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，
∴数列{b_n}是首项为 $\text{[math]}$ ，公比为 $\text{[math]}$ 的等比数列．（4分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）可知b_n= $\text{[math]}$ • $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$
∴a_n= $\text{[math]}$ ，
由a_n≤t•4ⁿ得t≥ $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ （6分）
∵ $\text{[math]}$ 是关于n的减函数，
∴ $\text{[math]}$ ≤ $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，
∴t≥ $\text{[math]}$ （9分）
（Ⅲ）∵a_n= $\text{[math]}$ =2+ $\text{[math]}$ ＞2+ $\text{[math]}$ ，（11分）
∴a₁+a₂+…+a_n＞（2+ $\text{[math]}$ ）+（2+ $\text{[math]}$ ）+…（2+ $\text{[math]}$ ）
=2n+（ $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ +…+ $\text{[math]}$ ）
=2n+ $\text{[math]}$ • $\text{[math]}$ =2n+1- $\text{[math]}$ ＞2n+ $\text{[math]}$ ．得证（14分）
分析：（Ⅰ）要证数列{b_n}是等比数列，需求得b_n+1= $\text{[math]}$ ，利用等比数列的定义即可证明；
（Ⅱ）由b_n= $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ 可求得a_n= $\text{[math]}$ ，结合条件a_n≤t•4ⁿ即可求得t的取值范围；
（Ⅲ）由a_n= $\text{[math]}$ =2+ $\text{[math]}$ ＞2+ $\text{[math]}$ ，利用累加法即可证得结论．
点评：本题考查数列与不等式的综合，着重考查等比关系的确定，恒成立问题的分析与应用，突出转化思想与放缩法、累加法的考查，属于难题．