Question

【题目】平面直角坐标系中，已知椭圆的离心率为，左、右焦点分别是，以为圆心以3为半径的圆与以为圆心以1为半径的圆相交，且交点在椭圆上.

（Ⅰ）求椭圆的方程；

（Ⅱ）设椭圆，为椭圆上任意一点，过点的直线交椭圆于两点，射线交椭圆于点.

（i）求的值；

（ⅱ）求面积的最大值.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）（i）2；（ⅱ）.

【解析】

试题（Ⅰ）根据椭圆的定义与几何性质列方程组确定的值，从而得到椭圆的方程；（Ⅱ）（i）设，，由题意知，然后利用这两点分别在两上椭圆上确定的值; （ⅱ）设，利用方程组结合韦达定理求出弦长，选将的面积表示成关于的表达式，然后，令，利用一元二次方程根的判别式确定的范围，从而求出的面积的最大值，并结合（i）的结果求出面积的最大值.

试题解析：（Ⅰ）由题意知，则,又可得,

所以椭圆C的标准方程为.

（Ⅱ）由（Ⅰ）知椭圆E的方程为,

（i）设，，由题意知因为,

又，即,所以，即.

（ⅱ）设

将代入椭圆E的方程，

可得

由，可得①

则有

所以

因为直线与轴交点的坐标为

所以的面积

令,将代入椭圆C的方程可得

由，可得②

由①②可知

因此,故

当且仅当，即时取得最大值

由（i）知，面积为,所以面积的最大值为.