Question

在三棱锥A—BCD中,AC=AB=DC=DB=2,AD=BC=1,求该三棱锥的体积.

Answer 1

思路分析:三棱锥的六条棱长都已知,且比较特殊,我们不难求得△ACB的面积,但点D在面ABC内的射影位置不明显,三棱锥的高比较难求.于是,我们以点A为原点,面ABC所在平面为xOy面,将AB置于Ox轴正半轴上,建立空间直角坐标系,问题便转化为求点D的坐标,而这不难用两点间的距离公式求解.

解:以点A为原点,面ABC所在平面为xOy面,将AB置于Ox轴的正半轴上,建立空间直角坐标系,如图4-3-2.

图4-3-2

AC=AB=2,BC=1,易求得S_△ABC=×1×.

A(0,0,0),B(2,0,0),C(,0).

设D(x,y,z).

由DA=1得x²+y²+z²=1.①

由DC=2,得(x-)²+(y-)²+z²=4.②

由DB=2,得(x-2)²+y²+z²=4.③

由①③,得-4x+4=3,x=.④

将①④代入②,得1-y=4,y=.⑤

将④⑤代入①,得+z²=1,

∴z²=,z=.

∴D点到平面ACB的距离为,三棱锥的体积为.

  绿色通道:本题采用建立空间直角坐标系,将问题转化为求D点的坐标问题的方法,避开了逻辑推理与空间想象而进行代数运算.