Question

已知函数f（x）=

1

x-1

，各项均为正数的数列{a_n}满足a_n+2=f（a_n），若a₂₀₁₁=a₂₀₁₃，则a₁=

5 +1

2

．

Answer 1

分析：函数f（x）=

1

x-1

，各项均为正数的数列{a_n}满足a_n+2=f（a_n），可得a_n+2=

1

an-1

，因为a₂₀₁₁=a₂₀₁₃，可得a₂₀₁₃=

1

a2011-1

=a₂₀₁₁，说明a₂₀₁₁也是方程x²-x-1=0的根，求出a₂₀₁₁，利用此信息进行求解；

解答：解：∵知函数f（x）=

1

x-1

，各项均为正数的数列{a_n}满足a_n+2=f（a_n），
∴a_n+2=

1

an-1

，
取n=2011，a₂₀₁₁=a₂₀₁₃，a_n+2=

1

an-1

，
可得a₂₀₁₃=

1

a2011-1

=a₂₀₁₁，所以（a₂₀₁₁）²-a₂₀₁₁-1=0，
∴a₂₀₁₁是方程x²-x-1=0的根，a₂₀₁₁＞0
∴a₂₀₁₁=

5 +1

2

，
∵a_n+2=

1

an-1

，
∴a₂₀₀₉=

1

a2011-1

=

1

5 +1 2 -1

=

2( 5 +1)

4

=

5 +1

2

，
a₂₀₀₇=

1

a2009-1

=

5 +1

2

a₂₀₀₆=

1

a2007-1

=

5 +1

2

依此类推可得
∴a₁=

1

a2-1

=

5 +1

2

故答案为：

5 +1

2

；

点评：此题主要考查数列的函数特性，注意利用好a₂₀₁₁=a₂₀₁₃，证明a₂₀₁₁是方程x²-x-1=0的根，此题是一道基础题；