Question

已知函数f(x)=1-

2

2x+t

（t是常实数）．
（1）若函数的定义为R，求y=f（x）的值域；
（2）若存在实数t使得y=f（x）是奇函数，证明y=f（x）的图象在g（x）=2^x+1-1图象的下方．

Answer 1

（1）因为2^x+t≠0恒成立，所以t≥0，（2分）
当t=0时，y=f（x）的值域为（-∞，1）；（4分）
当t＞0时，由y=1-

2

2x+t

得，2x=

2-t+ty

1-y

＞0，
因而

y-(1- 2 t )

y-1

＜0
即y=f（x）的值域为(1-

2

t

，1)．（6分）
（2）由y=f（x）是奇函数得t=1，所以f(x)=1-

1

2x+1

（8分）
f(x)-g(x)=1-

2

2x+1

-(2•2x-1)，f(x)-g(x)=4-[

2

2x+1

+2(2x+1)]≤0（11分）
当“=”成立时，必有

2

2x+1

=2(2x+1)，即2^x=0，此式显然不成立．（13分）
所以对任意实数x都有f（x）＜g（x）
即y=f（x）的图象在g（x）=2^x+1-1图象的下方．（14分）