Question

如图，椭圆的标准方程为，P为椭圆上的一点，且满足PF₁⊥PF₂，
（1）求三角形PF₁F₂的面积．
（2）若此椭圆长轴为8，离心率为，求点P的坐标．

Answer 1

【答案】分析：（1）利用直角三角形的勾股定理及椭圆的定义得到关于|PF₁|，|PF₂|的方程，求出|PF₁|•|PF₂|的值，利用直角三角形的面积公式求出△PF₁F₂的面积．
（2）由题知：a=4，得出椭圆的标准方程，再根据PF⊥PF₂得到P为以F₁F₂为直径的圆上，两者结合组成方程组求解即可得点P的坐标．
解答：解：（1）根据椭圆的定义，得|PF₁|+|PF₂|=2a，平方得|PF₁|²+2|PF₁||PF₂|+|PF₂|²=4a²
又PF⊥PF₂∴|PF₁|²+|PF₂|²=4c²
∴|PF₁||PF₂|=2b²
∴S=|PF₁||PF₂|=b²…7′．
（2）由a=4，=得b²=4  ….9′
∴椭圆的标准方程为+=1  …..10′
由PF⊥PF₂∴P为以F₁F₂为直径的圆上．….13′
+=1  ①x²+y²=12  ②
联列方程组 得x=y=±
∴点P的坐标：P₁（，）   P₂（-，）  
 P₃（-，-）    P₄（，-）….15′
点评：本题考查椭圆的定义、椭圆的简单性质的应用，以及用待定系数法求椭圆的标准方程的方法，考查计算能力．