Question

已知函数的图象如图所示．
（1）求函数y=f（x）的解析式；
（2）若在其定义域内为增函数，求实数k的取值范围．

Answer 1

【答案】分析：（1）由题意可得f（0）=3，f′（1）=0，解之可得a，c，可得解析式；
（2）可得函数g（x）的解析式，问题转化为在区间（0，+∞）上恒成立，只需构造函数，x∈（0，+∞），由基本不等式求最值即可．
解答：解：（1）求导数可得f′（x）=ax²+a-2，…（2分）
由图可知函数f（x）的图象过点（0，3），且f′（1）=0．
得，解得．…（4分）
∴．…（5分）
（2）∵，…（6分）
∴．…（8分）
∵函数y=g（x）的定义域为（0，+∞），…（9分）
∴若函数y=g（x）在其定义域内为单调增函数，
则函数g'（x）≥0在（0，+∞）上恒成立，即kx²+k-2x≥0在区间（0，+∞）上恒成立．…（10分）
即在区间（0，+∞）上恒成立．
令，x∈（0，+∞），
则（当且仅当x=1时取等号）．…（12分）
∴k≥1．…（13分）
点评：本题考查函数的单调性和导数的关系，涉及恒成立问题，属基础题．