Question

已知数列{a_n}满足a₁=1，且4a_n+1-a_na_n+1+2a_n=9。
（1）求a₂，a₃，a₄的值；
（2）猜想a_n的表达式；
（3）用数学归纳法证明（2）中的猜想。

Answer 1

解：（1）∵a₁=1，4a_n+1-a_na_n+1+2a_n=9，
∴4a₂-a₂+2=9，解得a₂=，
同理求得a₃=，a₄=；
（2）由a₁=1，a₂=，a₃=，a₄=，猜想a_n=；
（3）证明：①当n=1时，a₁=1，右端==1，等式成立；
②假设当n=k时，等式成立，即a_k=，
那么，当n=k+1时，
∵4a_k+1-a_k·a_k+1+2a_k=9，
∴，
即当n=k+1时，等式也成立；
由①②得对任意n∈N*，等式均成立。