Question

如图，已知长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁的底面ABCD为正方形，E为线段AD₁的中点，F为线段BD₁的中点．
（1）求证：EF∥平面ABCD；
（2）设M为线段C₁C的中点，当

D1D

AD

的比值为多少时，DF⊥平面D₁MB，
并说明理由．

Answer 1

分析：（1）要证：EF∥平面ABCD，只需证明EF∥AB，由直线与平面平行的判定定理可知EF∥平面ABCD．
（2）F为线段BD₁的中点，当

D1D

AD

=

2

时，易证DF⊥BD₁，再证MF⊥平面BB₁D₁D，就能证明FM⊥DF，即可证明DF⊥平面D₁MB．

解答：解：（1）∵E为线段AD₁的中点，F为线段BD₁的中点，
∴EF∥AB，
∵EF?平面ABCD，AB?平面ABCD，
∴EF∥面ABCD．
（2）当

D1D

AD

=

2

时，DF⊥平面D₁MB．
证明如下：连接AC，BD．
设AC与BD交于点O、连接OF，FM．在长方体中，
∵O是BD的中点，
∴OF∥DD₁且OF=

1

2

DD₁、而CM∥DD₁且CM=

1

2

DD₁．
∴OF∥CM且OF=CM，
∴四边形OCMF是平行四边形．
∴FM∥OC．
∵DD₁⊥平面ABCD，
∴D₁D⊥OC，而OC⊥BD，
∴OC⊥平面BB₁D₁D，
∴OC⊥DF，
∴FM⊥DF．
∵D1D=

2

AD，
∴D₁D=BD．
∵F为BD₁的中点，
∴DF⊥BD₁．
∵FM∩BD₁=F，
∴DF⊥平面BD₁M．

点评：本题考查直线与平面平行和垂直的判断，考查学生逻辑思维能力，空间想象能力，是难题．