Question

13．已知数列{a_n}的前n项和为S_n，首项为a₁，且$\frac{1}{2}$，a_n，S_n成等差数列，求通项公式a_n．

Answer 1

分析 根据等差中项的性质列出关系式，由a_n与S_n的关系式求出递推公式，由等比数列的定义和通项公式求出a_n．

解答 解：因为$\frac{1}{2}$，a_n，S_n成等差数列，
所以2a_n=$\frac{1}{2}+$S_n，①
当n=1时，2a₁=$\frac{1}{2}+$S₁，解得a₁=$\frac{1}{2}$，
当n≥2时，2a_n-1=$\frac{1}{2}+$S_n-1，②，
①-②得，2a_n-2a_n-1=a_n，则a_n=2a_n-1，即$\frac{{a}_{n}}{{a}_{n-1}}$=2，
所以数列{a_n}是以$\frac{1}{2}$为首项、2为公比的等比数列，
则通项公式a_n=$\frac{1}{2}•{2}^{n-1}$=2^n-2．

点评 本题考查等差中项的性质，a_n与S_n的关系式，等比数列的定义和通项公式，属于中档题．