题目内容

已知函数f（x）= $数学公式$ ．
（1）当a=- $数学公式$ 时，求函数f（x）在[1，e]上的最大值、最小值；
（2）求f（x）的单调区间．

解：（1）∵f（x）= $\text{[math]}$ ．
当a=- $\text{[math]}$ 时，f（x）=- $\text{[math]}$
∴ $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$
令f′（x）=0可得x₁=2，x₂=-2
当x∈[1，2]，f′（x）＞0，当x∈[2，e]时，f′（x）＜0
∴函数在区间[1，e]上，有x₁=2时， $\text{[math]}$ ，f（x）_min=min{f（1），f（e）}
而f（1）=- $\text{[math]}$
∴f（x）_min=- $\text{[math]}$
（2）∵ $\text{[math]}$
∴ $\text{[math]}$
①当a≥0时，由f′（x）＞0可得，x＞0，由f′（x）＜0可得x＜0
又x＞0
∴f（x）在（0，+∞）单调递增
②当a＜0时， $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$
由f′（x）＞0可得， $\text{[math]}$
由f′（x）＜0可得， $\text{[math]}$ ，又x＞0
∴f（x）的单调递增区间（0， $\text{[math]}$ ），减区间（ $\text{[math]}$ ）
分析：（1）由f（x）=- $\text{[math]}$ ，对函数求导可得 $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，从而可求函数在区间[1，e]上单调性进而可求函数的最大值域最小值
（2）对函数求导， $\text{[math]}$
①当a≥0时，分别由f′（x）＞0，f′（x）＜0可求函数的单调区间
②当a＜0时，由f′（x）＞0，f′（x）＜0可求函数单调区间
点评：本题主要考查了函数的导数求解函数的极值及函数的最值，利用导数判断函数的单调区间，解题中要注意分类讨论思想的应用．