题目内容
已知函数f（x）=ax+b，当x∈[a1，b1]时值域为[a2，b2]，当x∈[a2，b2]时值域为[a3，b3]，当x∈[an-1，bn-1]时值域为[an，bn]…其中a、b为常数，a1=0，b1=1（1）若a=1，b=2，求数列{an}和{bn}的通项公式．
（2）若a＞0，a≠1，要使数列{bn}是公比不为1的等比数列，求b的值．
（3）若a＞0，设数列{an}和{bn}的前n项和分别为Sn和Tn，求Tn-Sn的值．
【答案】分析：（1）由a=1，b=2，可得f（x）=x+2．函数f（x）单调递增，且当x∈[an-1，bn-1]时值域为[an，bn]．
可得当n≥2时，an=f（an-1）=an-1+2，bn=f（bn-1）=bn-1+2，由a1及b1，利用等差数列的通项公式即可得出．
（2）当a＞0时，函数f（x）=ax+b单调递增，可得当n≥2时，bn=f（bn-1）=abn-1+b，（*）
因为当bn=bn-1时，bn=1，b=1-a，故b≠1-a（a＞0，a≠1），再利用数列{bn}的公比为q，b1=1，对于（*）分别取n=2，3可得
即可解得b的值．
（3）当a＞0时，函数f（x）=ax+b单调递增，可得当n≥2时，an=f（an-1）=aan-1+b，bn=f（bn-1）=abn-1+b，
①当a=1时，an=0+（n-1）•b，bn=1+（n-1）b，由bn-an=1即可得出Tn-Sn．
②当a≠1时，由
，
，
可得
，
，可得
，于是Tn-Sn=1+a+a2+…+an-1．
解答：解：（1）∵a=1，b=2，∴f（x）=x+2，
∵函数f（x）单调递增，且当x∈[an-1，bn-1]时值域为[an，bn]．
∴当n≥2时，an=f（an-1）=an-1+2，bn=f（bn-1）=bn-1+2，
又a1=0，b1=1，
∴an=0+（n-1）×2=2n-2，bn=1+（n-1）×2=2n-1．
即an=2n-2，bn=2n-1．
（2）当a＞0时，函数f（x）=ax+b单调递增，∴当n≥2时，bn=f（bn-1）=abn-1+b，（*）
当bn=bn-1时，bn=1，b=1-a，
因此b≠1-a（a＞0，a≠1）．
设数列{bn}的公比为q，又b1=1，对于（*）分别取n=2，3可得
化为b（a+b-1）=0，而a+b-1≠0，∴b=0．
故当b=0时数列{bn}是公比不为1的等比数列．
因此b=0．
（3）当a＞0时，函数f（x）=ax+b单调递增，
∴当n≥2时，an=f（an-1）=aan-1+b，bn=f（bn-1）=abn-1+b，
①当a=1时，an=0+（n-1）•b，bn=1+（n-1）b，
∴Tn-Sn=1+1+…+1=n．
②当a≠1时，由
，
，
可得
，
，
∴可得
，
∴Tn-Sn=1+a+a2+…+an-1=
．
综上可知：当a=1时，Tn-Sn=n；
当a≠1时，Tn-Sn=
．
点评：熟练掌握一次函数的单调性、等差数列与等比数列的通项公式及其前n项和公式、分类讨论的思想方法是解题的关键．
可得当n≥2时，an=f（an-1）=an-1+2，bn=f（bn-1）=bn-1+2，由a1及b1，利用等差数列的通项公式即可得出．
（2）当a＞0时，函数f（x）=ax+b单调递增，可得当n≥2时，bn=f（bn-1）=abn-1+b，（*）
因为当bn=bn-1时，bn=1，b=1-a，故b≠1-a（a＞0，a≠1），再利用数列{bn}的公比为q，b1=1，对于（*）分别取n=2，3可得
即可解得b的值．（3）当a＞0时，函数f（x）=ax+b单调递增，可得当n≥2时，an=f（an-1）=aan-1+b，bn=f（bn-1）=abn-1+b，
①当a=1时，an=0+（n-1）•b，bn=1+（n-1）b，由bn-an=1即可得出Tn-Sn．
②当a≠1时，由
，，可得
，，可得，于是Tn-Sn=1+a+a2+…+an-1．解答：解：（1）∵a=1，b=2，∴f（x）=x+2，
∵函数f（x）单调递增，且当x∈[an-1，bn-1]时值域为[an，bn]．
∴当n≥2时，an=f（an-1）=an-1+2，bn=f（bn-1）=bn-1+2，
又a1=0，b1=1，
∴an=0+（n-1）×2=2n-2，bn=1+（n-1）×2=2n-1．
即an=2n-2，bn=2n-1．
（2）当a＞0时，函数f（x）=ax+b单调递增，∴当n≥2时，bn=f（bn-1）=abn-1+b，（*）
当bn=bn-1时，bn=1，b=1-a，
因此b≠1-a（a＞0，a≠1）．
设数列{bn}的公比为q，又b1=1，对于（*）分别取n=2，3可得
化为b（a+b-1）=0，而a+b-1≠0，∴b=0．
故当b=0时数列{bn}是公比不为1的等比数列．
因此b=0．
（3）当a＞0时，函数f（x）=ax+b单调递增，
∴当n≥2时，an=f（an-1）=aan-1+b，bn=f（bn-1）=abn-1+b，
①当a=1时，an=0+（n-1）•b，bn=1+（n-1）b，
∴Tn-Sn=1+1+…+1=n．
②当a≠1时，由
，，可得
，，∴可得
，∴Tn-Sn=1+a+a2+…+an-1=
．综上可知：当a=1时，Tn-Sn=n；
当a≠1时，Tn-Sn=
．点评：熟练掌握一次函数的单调性、等差数列与等比数列的通项公式及其前n项和公式、分类讨论的思想方法是解题的关键．
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