Question

已知圆O：x²+y²=1和定点A（2，1），由圆O外一点P（a，b）向圆O引切线PQ，切点为Q，且满足|PQ|=|PA|，
（Ⅰ）求实数a，b间满足的等量关系；
（Ⅱ）求线段PQ长的最小值．

Answer 1

分析：（I）连结OP，根据圆的切线的性质得|PQ|²+|QO|²=|OP|²，即a²+b²-1=（a-2）²+（b-1）²，化简既得实数a，b间满足的等量关系；
（II）由（I）结合两点间的距离公式，可得|PQ|²=a²+b²-1=5（a-

6

5

）²+

4

5

，结合二次函数的性质可得当a=

6

5

时，线段PQ长有最小值

2 5

5

．

解答：解：（Ⅰ）连结OP，因为Q是切点，可得PQ⊥QO，则|PQ|²+|QO|²=|OP|²，
∵|PQ|=|PA|，∴a²+b²-1=（a-2）²+（b-1）²
化简得2a+b-3=0，即为实数a，b间满足的等量关系； …（6分）
（Ⅱ）由（I）2a+b-3=0，得b=-2a+3
∴|PQ|²=a²+b²-1=a²+（-2a+3）²-1=5（a-

6

5

）²+

4

5

因此，当a=

6

5

时，线段PQ长的最小值为

4 5

=

2 5

5

…（12分）

点评：本题给出单位圆和其外部一个定点A，求切线PQ满足|PQ|=|PA|时，实数a，b间满足的等量关系，并求线段长的最小值．着重考查了直线与圆的位置关系、圆的方程和二次函数的性质等知识，属于中档题．