Question

（本题15分）已知函数，其定义域为（）,设．

（1）试确定的取值范围,使得函数在上为单调函数；

（2）试判断的大小并说明理由；

（3）求证：对于任意的,总存在，满足,并确定这样的的个数．

Answer 1

（本题15分）

       解：（1）因为-----1分

       由；由,所以在 上递增,在上递减-----------------------------------3分

       要使在上为单调函数,则---------------4分

（2）．

       在上递增,在上递减，∴在处有极小值---6分

       又，∴ 在上的最小值为---8分

       从而当时,，即     --------------9分

（3）证：∵，又∵，

       ∴,

       令,从而问题转化为证明方程=0在上有解,并讨论解的个数------10分

       ∵,,

       ①当时,,所以在上有解,且只有一解-------------------------------------12分

       ②当时,,但由于,

       所以在上有解,且有两解----------------------------13分

       ③当时,,故在上有且只有一解；

       当时,,

       所以在上也有且只有一解------------------------14分

       综上所述, 对于任意的,总存在,满足,

       且当时,有唯一的适合题意；当时,有两个适合题意．-------------------------------15分

（说明:第（3）题也可以令,,然后分情况证明在其值域内,并讨论直线与函数的图象的交点个数即可得到相应的的个数）

（注：据今年编考试说明回来的老师透露，明年的高考19题将改为数列题，这次考虑到学生可能没准备好，还是没变，请各位老师注意；考试说明中别的文字基本没改）