Question

11．设函数f（x）=$\frac{1}{2}$•4^x-3•2^x+5的定义域为[$\frac{1}{2}$，2]，求y=f（x）的值域，并求出最值时对应的x的值．

Answer 1

分析 配方得到$f（x）=\frac{1}{2}（{2}^{x}-3）^{2}+\frac{1}{2}$，令2^x=t，t$∈[\sqrt{2}，4]$，设y=f（x），从而得到$y=\frac{1}{2}（t-3）^{2}+\frac{1}{2}$，这样便可得出y的最大、最小值，以及对应的t及x的取值，从而便可得出y=f（x）的值域．

解答 解：$f（x）=\frac{1}{2}（{2}^{x}-3）^{2}+\frac{1}{2}$；
令${2}^{x}=t，t∈[\sqrt{2}，4]$，设y=f（x），则：
$y=\frac{1}{2}（t-3）^{2}+\frac{1}{2}$；
∴t=3，即2^x=3，x=log₂3时，y取最小值$\frac{1}{2}$；
t=$\sqrt{2}$，即${2}^{x}=\sqrt{2}$，x=$\frac{1}{2}$时，y取最大值$\frac{1}{2}（\sqrt{2}-3）^{2}+\frac{1}{2}=6-3\sqrt{2}$；
∴y=f（x）的值域为[$\frac{1}{2}，6-3\sqrt{2}$]．

点评 考查函数值域的概念，配方法求二次函数在闭区间上的值域，求二次函数的最值，要熟悉二次函数的图象．