题目内容

设双曲线 $数学公式$ 的一条渐近线与抛物线x=y²的一个交点的横坐标为 $数学公式$ ，若 $数学公式$ ，则双曲线C的离心率的取值范围是

A.
$数学公式$
B.
$数学公式$
C.
$数学公式$
D.
$数学公式$

B
分析：将 $\text{[math]}$ - $\text{[math]}$ =1（a＞0，b＞0）的一条渐近线与抛物线方程与抛物线x=y²的联立，求得其交点坐标，利用交点的横坐标 $\text{[math]}$ ＞ $\text{[math]}$ ，即可求得双曲线C的离心率的取值范围．
解答：∵ $\text{[math]}$ - $\text{[math]}$ =1（a＞0，b＞0）的一条渐近线方程为：y= $\text{[math]}$ x（另一条为y=- $\text{[math]}$ x），
∴由 $\text{[math]}$ 得：x= $\text{[math]}$ 或x=0（舍去），
∴这条渐近线与抛物线x=y²的一个交点的横坐标为 $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ＞ $\text{[math]}$ ，
∴2a²＞b²，又a²+b²=c²，
∴2a²＞c²-a²，
∴ $\text{[math]}$ ＜3，又 $\text{[math]}$ ＞1，
∴1＜ $\text{[math]}$ ＜3，
∴1＜ $\text{[math]}$ ＜ $\text{[math]}$ ，
又离心率e= $\text{[math]}$ ，
∴1＜e＜ $\text{[math]}$ ，
故选B．
点评：本题考查双曲线的简单性质，考查分析与计算能力，求得交点的横坐标 $\text{[math]}$ 是关键，属于中档题．