Question

已知椭圆=1上一点M(1，)，P、Q是椭圆上异于M的两个动点．

(1)若P、M、Q到椭圆左焦点F₁的距离成等差数列，求证：线段PQ的垂直平分线经过一个定点A;

(2)在(1)的条件下，若=0(零向量)，求|PB|的最大值及相应P点的坐标．

Answer 1

解：(1)设P(x₁，y₁)，Q(x₂，y₂)，椭圆中a=2，b=，c=，e=.

∵|PF₁|=2+x₁，|MF₁|=2+，|QF₁|=2+x₂，依题意，2|MF₁|=|PF₁|+|QF₁|，∴x₁+x₂=2，设PQ中点为C(x₀，y₀)，线段PQ的垂直平分线为l，则

x₀==1，y₀=，

∵P、Q在椭圆上，∴=0,

+y₀(y₁-y₂)=0

∵y₀≠0，∴k_PQ=，∵PQ⊥l，∴k₁=2y₀，

∴l的方程是y-y₀=2y₀（x-1），即

y=y₀(2x-1)，∴直线过定点(，0)．

(2)A(，0)关于原点的对称点为B(-，0)．

|PB|=

=

∵-2≤x₁≤2，∴当x₁=2时，|PB|_max=，此时，P点坐标为(2，0)．