Question

已知二次函数f（x）=ax²+bx+c（a、b、c）同时满足：①f（-1）=0②对任意的实数都有x≤f（x）≤（

x+1

2

）²
（1）求f（1）；
（2）求f（x）的解析式；
（3）令g（x）=f（x）-mx，求g（x）在[-1，1]上的最小值．

Answer 1

分析：（1）根据x≤f（x）≤（

x+1

2

）²，令x=1，即可得到f（1）的值；
（2）利用（1）中的f（1）=1，可得b-1=-a-c，再结合二次函数f（x）对任意的实数都有x≤f（x），即可得到a与c的关系，又f（-1）=0，从而得到a，b，c的方程组，求解即可得到答案；
（3）先求出g（x）的解析式，求出对称轴，根据对称轴与区间[-1，1]的位置关系，分三种情况分别讨论，利用二次函数的性质，分别求解最小值，最后将最小值写成分段函数的形式即可．

解答：解：∵二次函数f（x）对任意的实数都有x≤f（x）≤（

x+1

2

）²，
∴令x=1，则1≤f（1）≤(

1+1

2

)2，即1≤f（1）≤1，
∴f（1）=1；
（2）∵二次函数f（x）对任意的实数都有x≤f（x），
∴ax²+（b-1）x+c≥0对x∈R恒成立，
∵a≠0，
∴△=（b-1）²-4ac≤0，
又∵f（1）=1，则a+b+c=1，即b-1=-a-c，①
∴△=（-a-c）²-4ac=（a-c）²≤0，
∴a=c，②
又f（-1）=a-b+c=0，③
由①②③，解得a=

1

4

，b=

1

2

，c=

1

4

，
∴f（x）的解析式为f（x）=

1

4

x²+

1

2

x+

1

4

；
（3）∵g（x）=f（x）-mx，且f（x）=

1

4

x²+

1

2

x+

1

4

，
∴g（x）=f（x）=

1

4

x²+（

1

2

-m）x+

1

4

，
对称轴为x=2m-1，
①当2m-1≤-1，即m≤0时，函数g（x）在[-1，1]上单调递增，
∴当x=-1时，g（x）取得最小值为g（-1）=m；
②当-1＜2m-1＜1，即0＜m＜1时，函数g（x）在对称轴处取得最小值，
∴当x=2m-1时，g（x）取得最小值为g（2m-1）=-m²+m，
③当2m-1≥1，即m≥1时，函数g（x）在[-1，1]上单调递减，
∴当x=1时，g（x）取得最小值为g（1）=1-m．
综合①②③可得，g（x）_min=

m，            m≤0 -m2+m， 0＜m＜1 1-m，         m≥1

．

点评：本题考查了二次函数的性质，涉及二次函数解析式，以及二次函数的最值问题．对于求函数的解析式，一般有待定系数法，换元法，凑配法，消元法等．对于二次函数的最值，一般要注意考虑开口方向和对称轴与区间的位置关系，用离对称轴的远近来判断哪一个值取得最大值和最小值．属于中档题．