Question

（2012•闵行区三模）已知数列{a_n}满足a_n=

4an-1-6

an-1-1

（n≥2，n∈N），首项为a₁＞1．
（1）若a₁＞a₂，求a₁的取值范围；
（2）记b_n=

an-3

an-2

（n∈N^*），当2＜a₁＜3时，求证：数列{b_n}是等比数列；
（3）若a_n＞a_n+1（n∈N^*）恒成立，求a₁的取值范围．

Answer 1

分析：（1）先求出a₂，利用a₁＞a₂，a₁＞1，即可求出a₁的取值范围；
（2）由bn=

an-3

an-2

，代入条件，利用等比数列的定义，即可证明；
（3）利用a_n+1-a_n＞0，确定b₁的范围，即可确定a₁的范围．

解答：（1）解：∵a2=

4a1-6

a1-1

，
∴由a₁＞a₂，即

4a1-6

a1-1

-a1＜0，
∴

a12-5a1+6

a1-1

＞0，
∵a₁＞1，∴a12-5a1+6＞0，（2分）
∴a₁＞3或1＜a₁＜2；（4分）
（2）证明：由bn=

an-3

an-2

=

4an-1-6 an-1-1 -3

4an-1-6 an-1-1 -2

=

1

2

•

an-1-3

an-1-2

=

1

2

bn-1（6分）
∵b1=

a1-3

a1-2

≠0
∴{b_n}是等比数列，且bn=(

1

2

)n-1•b1（10分）
（3）解：由（1）有a₁＞3或1＜a₁＜2．于是b1=

a1-3

a1-2

＞0，
由（2）可知bn=(

1

2

)n-1•b1，
又bn=

an-3

an-2

，得an=

1

1-bn

+2，（12分）
故a_n+1-a_n=

1

1-bn+1

+2-

1

1-bn+1

+2=

bn+1-bn

(1-bn+1)(1-bn)

=…=

-( 1 2 )nb1

[1-( 1 2 )n•b1][1-( 1 2 )n-1•b1]

＜0．（14分）
所以[1-(

1

2

)n•b1][1-(

1

2

)n-1•b1]＞0，
从而0＜b1＜2n-1或b1＞2n恒成立．
因此0＜b₁＜1，（16分）
即0＜

a1-3

a1-2

＜1，则a₁的范围为a₁＞3．（18分）

点评：本题考查数列递推式，考查等比数列的证明，考查数列与不等式的联系，考查学生的计算能力，属于中档题．