Question

已知.
（1）求函数的最大值；
（2）设，证明：有最大值，且.

Answer 1

（1）0；（2）证明过程详见解析.

解析试题分析：本题主要考查导数的运算、利用导数研究函数的单调性、最值等基础知识，同时考查分析问题解决问题的综合解题能力和计算能力.第一问， 对求导，由于单调递增，单调递减，判断出函数的单调性，求出函数的最大值；第二问，对求导，设分子为再求导，判断的单调性，再根据零点的定义判断在上有零点，结合第一问的结论，得出所证结论.
试题解析： （1）．
当时，，单调递增；
当时，，单调递减．
所以的最大值为．      4分
（2），．
设，则．
当时，，单调递减；
当时，，单调递增；
当时，，单调递减．     7分
又，，，
所以在有一零点．
当时，，单调递增；
当时，，单调递减．     10分
由（1）知，当时，；当时，．
因此有最大值，且．      12分
考点：1.利用导数研究函数的单调性；2.利用导数求函数的最值.