Question

如图，四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁的底面ABCD是平行四边形，且AA₁⊥底面ABCD，AB=2，AA₁=BC=4，∠ABC=60°，点E为BC中点，点F为B₁C₁中点．
（Ⅰ） 求证：平面A₁ED⊥平面A₁AEF；
（Ⅱ）求点F到平面A₁ED的距离．

Answer 1

分析：（Ⅰ）依题意，易证DE⊥AE，从而可证DE⊥平面A₁AEF，由面面垂直的判断定理即可证得结论；
（Ⅱ）利用三棱锥的轮换体积公式VF-A1ED=VD-A1FE即可求得点F到平面A₁ED的距离．

解答：证明：（Ⅰ）依题意知，△ABE为等边三角形，所以AE=AB=2，
在等腰三角形ECD中，EC=CD=2，∠ECD=120°，
∴由余弦定理可知，DE=2

3

；
在△AED中，AD=4，AE=2，DE=2

3

，AD²=AE²+DE²，
∴DE⊥AE；
又AA₁⊥底面ABCD，
∴AA₁⊥DE，又AA₁∩AE=A，
∴DE⊥平面A₁AEF，DE?平面A₁ED，
∴平面A₁ED⊥平面A₁AEF；
（Ⅱ）设点F到平面A₁ED的距离为h，则VF-A1ED=

1

3

S△A1ED•h=

1

3

×

1

2

DE•A₁E•h=

1

3

×

1

2

×2

3

×2

5

•h；
又VD-A1FE=

1

3

S△A1FE•DE=

1

3

×

1

2

EF•A₁F•DE=

1

3

×

1

2

×4×2×2

3

；
∵VF-A1ED=VD-A1FE，
∴

1

3

×

1

2

×2

3

×2

5

•h=

1

3

×

1

2

×4×2×2

3

，
∴h=

4

5

=

4 5

5

．

点评：本题考查线面垂直的判定与平面与平面垂直的判定，考查点、线、面间的距离计算，考查推理与证明的能力，属于中档题．