Question

在平面直角坐标系xOy中，已知点A（-1，1），P是动点，且三角形POA的三边所在直线的斜率满足k_OP+k_OA=k_PA．

　 （ I）求点P的轨迹C的方程；

（Ⅱ）若Q是轨迹C上异于点P的一个点，且，直线OP与QA交于点M，问：是否存在点P使得△PQA和△PAM的面积满足S_△PQA=2S_△PAM?若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由．

Answer 1

解：（Ⅰ）设点为所求轨迹上的任意一点，则由得，

，

整理得轨迹的方程为（且）．                                   4分

（Ⅱ）方法一、

设，

由可知直线，则，

故，即，                    6分

由三点共线可知，

与共线，

∴ ，

由（Ⅰ）知，故，                         8分

同理，由与共线，

∴ ，

即，

由（Ⅰ）知，故，                                10分

将，代入上式得，

整理得，

由得，        12分

由，得到，因为，所以，

由，得，∴的坐标为．                                   14分

方法二、设

由可知直线，则，

故，即，                    6分

∴直线OP方程为：   ①；                      8分

直线QA的斜率为：，

∴直线QA方程为：，即  ②；··········· 10分

联立①②，得，∴点M的横坐标为定值．                              12分

由，得到，因为，所以，

由，得，∴的坐标为．       14分